高等代数（2）期末过关复习包

例题 1：标准的二次型→矩阵（必须会做的基础题）

题目：设 $f=2x_1^2+6x_1x_2+3x_2^2-4x_1x_3+x_3^2$，写出矩阵 $A$。

解题思路（逐步拆解）：

1. 【确定维度】变量有 $x_1,x_2,x_3$ 三个，所以 $A$ 是 $3\times3$ 矩阵。
2. 【先画框架】在草稿纸上画出 $3\times3$ 的空框： $$A=\begin{pmatrix}\Box&\Box&\Box\\\Box&\Box&\Box\\\Box&\Box&\Box\end{pmatrix}$$
3. 【填对角线】找所有平方项：
   • $2x_1^2$ → $a_{11}=2$
   • $3x_2^2$ → $a_{22}=3$
   • $x_3^2=1\cdot x_3^2$ → $a_{33}=1$
   现在矩阵变成： $$A=\begin{pmatrix}2&\Box&\Box\\\Box&3&\Box\\\Box&\Box&1\end{pmatrix}$$
4. 【填交叉项（这是易错点！）】
   • $6x_1x_2$：系数是6，除以2得3，所以 $a_{12}=a_{21}=3$
   • $-4x_1x_3$：系数是-4，除以2得-2，所以 $a_{13}=a_{31}=-2$
   • 没有 $x_2x_3$ 项，所以 $a_{23}=a_{32}=0$
5. 【写出完整矩阵】 $$A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\3&3&0\\-2&0&1\end{pmatrix}$$
6. 【检查对称性】看 $a_{12}=a_{21}=3$ ✓，$a_{13}=a_{31}=-2$ ✓，$a_{23}=a_{32}=0$ ✓

得分关键点（考试要注意）：

• ❌ 常见错误1：把 $6x_1x_2$ 的系数6直接填入 $a_{12}$，这样展开会变成 $12x_1x_2$，直接扣光这题的分
• ❌ 常见错误2：忘记负号，把 $-4x_1x_3$ 写成 $a_{13}=2$
• ✓ 保险做法：写完后随机挑一项验证，比如验证 $(1,1,1)^T$ 代入展开式是否等于原式代入的值

例题 2：没有平方项的二次型（稍难变式）

题目：$f=2x_1x_2+4x_1x_3-6x_2x_3$，写出矩阵 $A$。

解答：

1. 三个变量，所以 $A$ 是 $3\times3$ 矩阵
2. 没有任何平方项，所以对角线全是0：$a_{11}=a_{22}=a_{33}=0$
3. 交叉项：
   • $2x_1x_2$ → $a_{12}=a_{21}=1$
   • $4x_1x_3$ → $a_{13}=a_{31}=2$
   • $-6x_2x_3$ → $a_{23}=a_{32}=-3$
4. 最终：$$A=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&-3\\2&-3&0\end{pmatrix}$$

重要提示：没有平方项不代表不是二次型！对角线全是0的对称矩阵完全合法。

例题 3：反向问题——从矩阵写出二次型（也会考）

题目：$A=\begin{pmatrix}1&-2&0\\-2&3&1\\0&1&-1\end{pmatrix}$，写出对应的二次型 $f$。

解答步骤：

1. 【读对角线得平方项】$a_{11}=1$ → $x_1^2$，$a_{22}=3$ → $3x_2^2$，$a_{33}=-1$ → $-x_3^2$
2. 【读上三角得交叉项】（只看上三角，然后系数×2）
   • $a_{12}=-2$ → 交叉项是 $2\times(-2)x_1x_2=-4x_1x_2$
   • $a_{13}=0$ → 没有 $x_1x_3$ 项
   • $a_{23}=1$ → 交叉项是 $2\times1x_2x_3=2x_2x_3$
3. 【合并写出】$$f=x_1^2-4x_1x_2+3x_2^2+2x_2x_3-x_3^2$$

技巧：从矩阵到二次型时，只看上三角（或只看下三角），交叉项系数要×2，避免重复计算。

例题 2：配方法化标准形（最常考的计算题型）

题目：化 $f=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2$ 为标准形。

完整解答（按考试标准步骤写）：

1. 【观察】有 $x_1^2$ 项，可以用配方法。目标是凑出完全平方 $(x_1+?)^2$。
2. 【配方】

   看含 $x_1$ 的所有项：$x_1^2 + 2x_1x_2$

   这可以配成 $(x_1+x_2)^2$，因为：

   $$(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$$

   原式中 $x_1^2 + 2x_1x_2$ 就是这个展开式的前两项。

3. 【整理剩余项】

   $$\begin{align} f &= x_1^2 + 2x_1x_2 + 3x_2^2\\ &= (x_1+x_2)^2 - x_2^2 + 3x_2^2 \quad \text{（从 }(x_1+x_2)^2\text{ 中借出了 }x_2^2\text{）}\\ &= (x_1+x_2)^2 + 2x_2^2 \end{align}$$

4. 【设新变量】

   令 $\begin{cases}y_1 = x_1+x_2\\ y_2 = x_2\end{cases}$，即 $\begin{cases}x_1 = y_1-y_2\\ x_2 = y_2\end{cases}$

5. 【写出标准形和变换矩阵】

   标准形：$f = y_1^2 + 2y_2^2$

   变换矩阵：$X = CY$，其中 $C=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}$（从 $x_1=1\cdot y_1-1\cdot y_2$ 和 $x_2=0\cdot y_1+1\cdot y_2$ 得出）

6. 【验证（考试时写这步能加印象分）】

   正惯性指数 = 2（两个正平方项），负惯性指数 = 0，秩 = 2。

   原矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}$ 的秩也是2 ✓

得分要点：

• ✓ 必须写出变换关系（$y_1=$什么，$y_2=$什么）
• ✓ 最终答案要明确写"标准形为 $f=...$"
• ❌ 不要只写结果不写步骤，配方过程必须展示

例题 3：没有平方项怎么办？（必须掌握的技巧）

题目：化 $f=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3$ 为标准形。

思路分析：没有平方项就无法直接配方，需要先造平方项。

完整解答：

1. 【造平方项】用替换公式（必须记住）：

   $$\begin{cases} x_1 = y_1 + y_2\\ x_2 = y_1 - y_2\\ x_3 = y_3 \end{cases}$$

   这样 $x_1x_2 = (y_1+y_2)(y_1-y_2) = y_1^2 - y_2^2$ 就出现平方项了。

2. 【代入并展开】

   $$\begin{align} f &= 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 6x_2x_3\\ &= 2(y_1^2-y_2^2) + 2(y_1+y_2)y_3 - 6(y_1-y_2)y_3\\ &= 2y_1^2 - 2y_2^2 + 2y_1y_3 + 2y_2y_3 - 6y_1y_3 + 6y_2y_3\\ &= 2y_1^2 - 2y_2^2 - 4y_1y_3 + 8y_2y_3 \end{align}$$

3. 【继续配方】现在有 $y_1^2$ 了，配含 $y_1$ 的项：

   $$\begin{align} f &= 2(y_1^2 - 2y_1y_3) - 2y_2^2 + 8y_2y_3\\ &= 2[(y_1-y_3)^2 - y_3^2] - 2y_2^2 + 8y_2y_3\\ &= 2(y_1-y_3)^2 - 2y_3^2 - 2y_2^2 + 8y_2y_3\\ &= 2(y_1-y_3)^2 - 2(y_2^2 - 4y_2y_3)\\ &= 2(y_1-y_3)^2 - 2[(y_2-2y_3)^2 - 4y_3^2]\\ &= 2(y_1-y_3)^2 - 2(y_2-2y_3)^2 + 8y_3^2 \end{align}$$

4. 【最终标准形】

   令 $\begin{cases}z_1 = y_1-y_3\\ z_2 = y_2-2y_3\\ z_3 = y_3\end{cases}$

   标准形：$f = 2z_1^2 - 2z_2^2 + 8z_3^2$

   正惯性指数 = 2，负惯性指数 = 1，秩 = 3

关键技巧总结：

• 没有平方项时，优先用 $x_i = y_i+y_j, x_j = y_i-y_j$ 造出 $y_i^2 - y_j^2$
• 如果只有一个交叉项 $x_1x_2$，也可以用 $x_1=y_1, x_2=y_1+y_2$ 造出 $y_1^2 + y_1y_2$

例题 4：特殊情况——已知变换求标准形（逆向题）

题目：已知二次型 $f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-4x_2x_3$ 经变换 $X=CY$ 化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2$，求 $C$。

思路：这是考研常见题型，需要用 $C^TAC=D$ 求解，其中 $D$ 是标准形的矩阵。

解答步骤：

1. 写出原矩阵：$A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&2&-2\\-1&-2&5\end{pmatrix}$
2. 标准形矩阵：$D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$（注意秩是2，所以第三个平方项系数是0）
3. 需要找 $C$ 使得 $C^TAC=D$
4. 方法1：用初等变换同时化 $(A|E)$ 为 $(E|C^{-T})$，然后转置
5. 方法2：先对角化 $A$，再单位化（这题用正交对角化更简单）

考试建议：这种题计算量大，如果时间不够，优先做其他题。

例题 1：齐次条件是子空间（标准的"是"的例子）

题目：$W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\}$ 是不是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间？

完整解答（考试标准格式）：

1. 【检查零向量】

   零向量 $(0,0,0)$ 满足 $0+0+0=0$，所以 $\vec{0}\in W$。✓

2. 【检查加法封闭】

   设 $\alpha=(x_1,y_1,z_1)\in W$，$\beta=(x_2,y_2,z_2)\in W$。

   则 $x_1+y_1+z_1=0$ 且 $x_2+y_2+z_2=0$。

   $\alpha+\beta=(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$，其坐标和为：

   $(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2) = (x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2) = 0+0 = 0$

   所以 $\alpha+\beta\in W$。✓

3. 【检查数乘封闭】

   设 $\alpha=(x,y,z)\in W$，则 $x+y+z=0$。

   对任意 $k\in\mathbb{R}$，$k\alpha=(kx,ky,kz)$，其坐标和为：

   $kx+ky+kz = k(x+y+z) = k\cdot0 = 0$

   所以 $k\alpha\in W$。✓

4. 【结论】

   因为 $W$ 含零向量，且对加法、数乘封闭，所以 $W$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间。

关键特征：齐次线性方程组的解集一定是子空间。

例题 2：矩阵空间的子空间判断

题目：$M=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\right\}$ 是否为 $\mathbb{R}^{2\times2}$ 的子空间？

解答：

1. 零矩阵 $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ 满足形式，$\vec{0}\in M$。✓
2. 两个这样的矩阵相加，第二行还是0，仍在 $M$ 中。✓
3. 数乘后第二行仍然是0，仍在 $M$ 中。✓
4. 所以 $M$ 是子空间。

几何意义：$M$ 就是"第二行为零"的所有矩阵，这是 $\mathbb{R}^{2\times2}$ 的一个子空间。

例题 3：多项式空间的子空间（难度稍高）

题目：$P=\{p(x)\in\mathbb{R}[x]_3:p(1)=0\}$（所有在 $x=1$ 处为零的次数 $\leq3$ 的多项式），是否为子空间？

解答：

1. 零多项式 $p(x)=0$ 满足 $p(1)=0$，$\vec{0}\in P$。✓
2. 若 $p(1)=0, q(1)=0$，则 $(p+q)(1)=p(1)+q(1)=0+0=0$，加法封闭。✓
3. 若 $p(1)=0$，则 $(kp)(1)=k\cdot p(1)=k\cdot0=0$，数乘封闭。✓
4. 所以 $P$ 是子空间。

重要规律："满足某个齐次线性条件的对象全体"通常是子空间。

例题 2.1：判断线性相关性（基础题）

题目：判断 $\alpha_1=(1,2,1)$，$\alpha_2=(2,3,3)$，$\alpha_3=(1,1,2)$ 是否线性相关。

完整解答：

1. 【列方程】设 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$
2. 【写成矩阵形式】

   把向量按列排列，得到齐次方程组：

   $$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&3&1\\1&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

3. 【行化简】

   $$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&3&1\\1&3&2\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{行化简}}\begin{pmatrix}1&2&1\\0&-1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{继续}}\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$$

4. 【分析解的情况】

   秩为2，有3个未知数，所以有 $3-2=1$ 个自由变量。

   存在非零解（比如令 $k_3=1$，可得 $k_2=-1, k_1=1$）。

5. 【结论】

   因为有非零解，所以这三个向量线性相关。

   （实际上 $\alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 = 0$，即 $\alpha_1 = \alpha_2 - \alpha_3$）

快速判断技巧：向量个数 > 维数 → 一定线性相关（3个三维向量最多只能有3个线性无关）

例题 2.2：求极大无关组和维数（必考题型）

题目：$\alpha_1=(1,1,0,0)$，$\alpha_2=(2,2,0,0)$，$\alpha_3=(1,0,1,0)$，$\alpha_4=(0,1,-1,0)$。求生成空间 $W=\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}$ 的一组基和维数。

完整解答（考试标准步骤）：

1. 【观察明显相关关系】

   $\alpha_2 = 2\alpha_1$（第二个是第一个的2倍），所以 $\alpha_2$ 多余，可以删掉。

2. 【构造矩阵】

   把剩下的向量按列排列：

   $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

   （注意：这是 $4\times3$ 矩阵，列是 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$）

3. 【行化简找主元列】

   $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+r_2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

   主元在第1列和第2列。

4. 【找出基】

   主元列对应原矩阵的列向量（不是化简后的！）

   第1列对应 $\alpha_1$，第2列对应 $\alpha_3$。

   一组基为：$\{\alpha_1, \alpha_3\} = \{(1,1,0,0), (1,0,1,0)\}$

5. 【维数】

   基中有2个向量，所以 $\dim W = 2$。

6. 【验证（可选但推荐）】

   检查 $\alpha_1$ 和 $\alpha_3$ 是否线性无关：不成倍数 ✓

   检查 $\alpha_4$ 能否由它们表示：$\alpha_4 = -\alpha_1 + \alpha_3$ ✓

关键要点：

• ❗ 主元列对应的是原向量，不要写化简后的向量
• ❗ 维数 = 秩 = 主元个数 = 基向量个数
• ❗ 极大无关组不唯一，但维数唯一

例题 2.3：解空间的基和维数（齐次方程组）

题目：求齐次方程组 $\begin{cases}x_1+2x_2+x_3=0\\2x_1+4x_2+2x_3=0\end{cases}$ 的解空间的基和维数。

完整解答：

1. 【化简增广矩阵】

   $$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&0\end{pmatrix}$$

2. 【写出通解】

   只有一个主元（$x_1$），两个自由变量（$x_2, x_3$）。

   从 $x_1+2x_2+x_3=0$ 得 $x_1=-2x_2-x_3$。

   通解：$$X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2x_2-x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = x_2\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$$

3. 【找出基】

   解空间的一组基为：$$\left\{\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\right\}$$

4. 【维数】

   $\dim(\text{解空间}) = 2$（自由变量个数）

5. 【验证】

   用秩-零化度公式：$n - \text{rank}(A) = 3 - 1 = 2$ ✓

重要公式：解空间维数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩

例题 3.1：标准基下求坐标（最简单的情况）

题目：在 $\mathbb{R}^3$ 的标准基 $e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)$ 下，求向量 $\alpha=(2,-3,5)$ 的坐标。

解答：

设 $\alpha = x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3$

代入：$(2,-3,5) = x_1(1,0,0) + x_2(0,1,0) + x_3(0,0,1) = (x_1, x_2, x_3)$

显然 $x_1=2, x_2=-3, x_3=5$

坐标为：$(2,-3,5)^T$ 或写成 $\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}$

结论：在标准基下，向量的坐标就是它本身的分量。（这也是为什么叫"标准基"）

例题 3.2：非标准基下求坐标（必考题型）

题目：在 $\mathbb{R}^2$ 中，基 $\varepsilon_1=(1,1), \varepsilon_2=(1,-1)$。求向量 $\alpha=(3,1)$ 在这组基下的坐标。

完整解答（考试标准格式）：

1. 【设未知系数】

   设 $\alpha = x\varepsilon_1 + y\varepsilon_2$（注意：这里的 $x,y$ 就是要求的坐标）

2. 【代入已知向量】

   $(3,1) = x(1,1) + y(1,-1)$

3. 【展开成分量形式】

   $(3,1) = (x+y, x-y)$

4. 【列方程组】

   $$\begin{cases} x + y = 3\\ x - y = 1 \end{cases}$$

5. 【解方程】

   两式相加：$2x = 4 \Rightarrow x = 2$

   代入第一式：$2 + y = 3 \Rightarrow y = 1$

6. 【写出坐标】

   $\alpha$ 在基 $\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\}$ 下的坐标为 $(2, 1)^T$ 或 $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

7. 【验证（推荐写）】

   检验：$2(1,1) + 1(1,-1) = (2,2)+(1,-1) = (3,1)$ ✓

关键点：

• 坐标 $(2,1)$ 的意思是：$\alpha = 2\varepsilon_1 + 1\varepsilon_2$
• 同一个向量 $(3,1)$ 在标准基下坐标是 $(3,1)$，在这组基下坐标是 $(2,1)$，基不同坐标不同

例题 3.3：矩阵方法求坐标（计算量大时更快）

题目：在 $\mathbb{R}^3$ 中，基 $\varepsilon_1=(1,1,0), \varepsilon_2=(1,0,1), \varepsilon_3=(0,1,1)$。求 $\alpha=(2,3,4)$ 在此基下的坐标。

矩阵方法解答：

1. 【建立矩阵方程】

   设坐标为 $(x,y,z)^T$，则：

   $$\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}$$

   （左边矩阵的列是基向量，右边是目标向量）

2. 【增广矩阵化简】

   $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&0&2\\ 1&0&1&3\\ 0&1&1&4 \end{array}\right) \xrightarrow{r_2-r_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&0&2\\ 0&-1&1&1\\ 0&1&1&4 \end{array}\right)$$

   $$\xrightarrow{r_3+r_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&0&2\\ 0&-1&1&1\\ 0&0&2&5 \end{array}\right)$$

3. 【回代求解】

   从第三行：$2z=5 \Rightarrow z=\frac{5}{2}$

   从第二行：$-y+z=1 \Rightarrow y=z-1=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$

   从第一行：$x+y=2 \Rightarrow x=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$

4. 【写出坐标】

   坐标为 $\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\\\frac{5}{2}\end{pmatrix}$

5. 【验证】

   $\frac{1}{2}(1,1,0)+\frac{3}{2}(1,0,1)+\frac{5}{2}(0,1,1)$

   $=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)+(\frac{3}{2},0,\frac{3}{2})+(0,\frac{5}{2},\frac{5}{2})$

   $=(2,3,4)$ ✓

方法选择：

• 2维、3维简单基 → 直接列方程更快
• 3维复杂基、4维及以上 → 用矩阵方法

例题 3.4：多项式空间的坐标（抽象空间也是一样的套路）

题目：在 $\mathbb{R}[x]_2$ 中，基 $\varepsilon_1=1, \varepsilon_2=x, \varepsilon_3=x^2$。求 $p(x)=2+3x-x^2$ 的坐标。

解答：

设 $p(x) = a\cdot1 + b\cdot x + c\cdot x^2$

则 $2+3x-x^2 = a + bx + cx^2$

比较系数：$a=2, b=3, c=-1$

坐标为 $(2, 3, -1)^T$

规律：在多项式的标准基 $\{1, x, x^2, \dots\}$ 下，坐标就是系数。

例题 4.1：求子空间的和（基础题）

题目：在 $\mathbb{R}^3$ 中，$U=\text{span}\{(1,0,0)\}$，$V=\text{span}\{(0,1,0)\}$。求 $U+V$。

解答：

1. 【理解定义】

   $U+V$ 是所有 $u+v$ 的集合，其中 $u\in U, v\in V$

2. 【具体计算】

   $u = a(1,0,0) = (a,0,0)$，$v = b(0,1,0) = (0,b,0)$

   $u+v = (a,b,0)$

3. 【写成生成空间】

   $U+V = \{(a,b,0): a,b\in\mathbb{R}\} = \text{span}\{(1,0,0), (0,1,0)\}$

4. 【几何意义】

   $U$ 是 $x$ 轴，$V$ 是 $y$ 轴，$U+V$ 是 $xy$ 平面（$z=0$）

5. 【求维数】

   一组基为 $\{(1,0,0), (0,1,0)\}$，所以 $\dim(U+V)=2$

   验证维数公式：$\dim(U+V)=1+1-0=2$ ✓（交集只有原点，维数为0）

例题 4.2：求子空间的交（重点题型）

题目：$U=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$，$V=\{(x,y,z):x-y=0\}$。求 $U\cap V$ 的基和维数。

完整解答：

1. 【理解交的含义】

   $U\cap V$ 是同时满足两个条件的向量

2. 【列方程组】

   $(x,y,z)\in U\cap V$ 当且仅当：

   $$\begin{cases} x+y+z=0 &\text{（属于 }U\text{）}\\ x-y=0 &\text{（属于 }V\text{）} \end{cases}$$

3. 【解方程组】

   从第二个方程：$x=y$

   代入第一个：$y+y+z=0 \Rightarrow z=-2y$

   令 $y=t$（自由变量），则 $x=t, z=-2t$

   通解：$(x,y,z) = (t, t, -2t) = t(1, 1, -2)$

4. 【写出基】

   $U\cap V$ 的一组基为 $\{(1,1,-2)\}$

   维数：$\dim(U\cap V)=1$

5. 【验证维数公式】

   $\dim U = 2$（齐次方程1个，3个变量，$3-1=2$）

   $\dim V = 2$（齐次方程1个，3个变量，$3-1=2$）

   $\dim(U\cap V) = 1$（已求出）

   用公式算 $U+V$ 的维数：$\dim(U+V)=2+2-1=3$

   因为 $U,V\subseteq\mathbb{R}^3$ 且 $\dim(U+V)=3$，所以 $U+V=\mathbb{R}^3$ ✓

关键技巧：求交集 = 联立方程组求公共解

例题 4.3：判断直和（必考题型）

题目：在 $\mathbb{R}^2$ 中，$U=\text{span}\{(1,0)\}$，$V=\text{span}\{(0,1)\}$。判断 $\mathbb{R}^2=U\oplus V$ 是否成立。

方法一：验证交集为零

1. $U$ 是 $x$ 轴，$V$ 是 $y$ 轴
2. $U\cap V$ 只包含同时在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的向量，只有 $(0,0)$
3. 所以 $U\cap V=\{0\}$ ✓
4. $\dim(U+V)=1+1-0=2=\dim\mathbb{R}^2$，所以 $U+V=\mathbb{R}^2$ ✓
5. 结论：$\mathbb{R}^2=U\oplus V$ 成立

方法二：验证维数

1. $\dim U=1, \dim V=1, \dim\mathbb{R}^2=2$
2. $\dim U+\dim V=1+1=2=\dim\mathbb{R}^2$ ✓
3. 且 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 能生成 $\mathbb{R}^2$ ✓
4. 结论：$\mathbb{R}^2=U\oplus V$ 成立

考试建议：方法二更快，直接算维数。

例题 4.4：用维数公式求交的维数（不求具体基）

题目：$V$ 是5维空间，$U,W$ 是 $V$ 的子空间，$\dim U=3, \dim W=4$，且 $U+W=V$。求 $\dim(U\cap W)$。

解答：

1. 【用维数公式】

   $$\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U\cap W)$$

2. 【代入已知数据】

   $$5 = 3 + 4 - \dim(U\cap W)$$

3. 【解方程】

   $$\dim(U\cap W) = 3+4-5 = 2$$

4. 【答案】

   $\dim(U\cap W)=2$

考试技巧：这种题不需要求具体的基，只算维数即可。维数公式是送分题！

例题 4.5：证明直和（证明题模板）

题目：设 $U,V$ 是线性空间 $W$ 的子空间，$U\cap V=\{0\}$，$\dim U+\dim V=\dim W$。证明 $W=U\oplus V$。

标准证明：

1. 【证明 $U+V=W$】

   由维数公式：

   $$\dim(U+V) = \dim U + \dim V - \dim(U\cap V) = \dim U + \dim V - 0 = \dim W$$

   因为 $U+V\subseteq W$ 且维数相等，所以 $U+V=W$。

2. 【已知 $U\cap V=\{0\}$】

   由题目条件。

3. 【结论】

   因为 $W=U+V$ 且 $U\cap V=\{0\}$，所以 $W=U\oplus V$。

证明要点：直和的证明通常就是验证"和等于大空间"+"交只有零"。

例题 1.1：标准的核像计算（必须会做）

题目：$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$，$T(X)=AX$。求 $\ker T$ 和 $\operatorname{Im} T$ 的基和维数。

完整解答：

1. 【求核 $\ker T$】

   解 $AX=0$，设 $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

   $$\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

   方程组：$\begin{cases}x+2y=0\\2x+4y=0\end{cases}$

   第二个方程是第一个的2倍，实际只有一个独立方程。

   从 $x+2y=0$ 得 $x=-2y$

   令 $y=t$（自由变量），则 $X=\begin{pmatrix}-2t\\t\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$

   $\ker T$ 的基：$\left\{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\right\}$，$\dim\ker T=1$

2. 【求像 $\operatorname{Im} T$】

   $A$ 的列向量为 $\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$，$\alpha_2=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$

   观察：$\alpha_2=2\alpha_1$（第二列是第一列的2倍）

   所以列空间就是 $\alpha_1$ 张成的空间

   $\operatorname{Im} T$ 的基：$\left\{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right\}$，$\dim\operatorname{Im} T=1$

3. 【验证秩-零化度公式】

   $\dim\mathbb{R}^2 = 2$，$\dim\ker T + \dim\operatorname{Im} T = 1+1=2$ ✓

4. 【几何意义】

   $T$ 把整个平面压到一条直线上（$\operatorname{Im} T$ 是直线），垂直于这条直线的方向被压成0（$\ker T$）。

例题 1.2：核为零的情况（单射）

题目：$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}$，$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$，$T(X)=AX$。求 $\ker T$ 和 $\operatorname{Im} T$。

解答：

1. 【求核】

   解 $AX=0$：$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

   方程组：$\begin{cases}x=0\\y=0\\x+y=0\end{cases}$

   只有零解：$X=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

   $\ker T=\{0\}$，$\dim\ker T=0$

2. 【求像】

   两列向量 $\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ 线性无关（不成倍数）

   $\operatorname{Im} T$ 的基：$\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right\}$，$\dim\operatorname{Im} T=2$

3. 【验证】$2=0+2$ ✓
4. 【重要性质】$\ker T=\{0\}$ 说明 $T$ 是单射（不同输入一定有不同输出，没有信息丢失）

例题 1.3：像为整个空间的情况（满射）

题目：$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$，$T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$，$T(X)=AX$。求核和像。

解答：

1. 【求核】

   $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

   $\begin{cases}x+z=0\\y+z=0\end{cases}$ → $x=-z, y=-z$

   令 $z=t$，则 $X=t\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$

   $\ker T$ 的基：$\left\{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\right\}$，$\dim\ker T=1$

2. 【求像】

   两列 $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ 就是 $\mathbb{R}^2$ 的标准基

   $\operatorname{Im} T=\mathbb{R}^2$，$\dim\operatorname{Im} T=2$

3. 【验证】$3=1+2$ ✓
4. 【重要性质】$\operatorname{Im} T=\mathbb{R}^2$ 说明 $T$ 是满射（任何输出都能找到对应输入）

例题 1.4：只知道矩阵的秩，求核和像的维数

题目：$T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^4$，$T(X)=AX$，$\text{rank}(A)=3$。求 $\dim\ker T$ 和 $\dim\operatorname{Im} T$。

解答（不需要具体计算，直接用公式）：

1. $A$ 是 $4\times5$ 矩阵（$m\times n$）
2. $\dim\operatorname{Im} T = \text{rank}(A) = 3$
3. $\dim\ker T = n - \text{rank}(A) = 5-3=2$
4. 验证：$5=2+3$ ✓

考试技巧：这种题不需要算具体的基，只算维数即可。

例题 2.1：标准基下的矩阵（最简单情况）

题目：在 $\mathbb{R}^2$ 的标准基 $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$ 下，$T(x,y)=(x+y, y)$。求 $T$ 的矩阵表示。

完整解答：

1. 【计算 $T(e_1)$】

   $T(e_1)=T(1,0)=(1+0, 0)=(1,0)$

   在标准基下，$(1,0)$ 的坐标就是 $(1,0)^T$

   第一列：$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

2. 【计算 $T(e_2)$】

   $T(e_2)=T(0,1)=(0+1, 1)=(1,1)$

   在标准基下，$(1,1)$ 的坐标就是 $(1,1)^T$

   第二列：$\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

3. 【拼成矩阵】

   $$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$

4. 【验证（推荐）】

   检验：$A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y\\y\end{pmatrix}$ ✓

技巧：标准基下最简单，$T(\varepsilon_j)$ 直接就是坐标，不需要额外计算。

例题 2.2：非标准基下的矩阵（必考题型）

题目：在 $\mathbb{R}^2$ 中，基 $\varepsilon_1=(1,1), \varepsilon_2=(1,-1)$。线性变换 $T$ 满足 $T(x,y)=(2x+y, x-y)$。求 $T$ 在这组基下的矩阵。

完整解答：

1. 【计算 $T(\varepsilon_1)$】

   $T(\varepsilon_1)=T(1,1)=(2\cdot1+1, 1-1)=(3,0)$

2. 【把 $T(\varepsilon_1)$ 表示成基的线性组合】

   设 $(3,0)=a\varepsilon_1+b\varepsilon_2=a(1,1)+b(1,-1)$

   $(3,0)=(a+b, a-b)$

   方程组：$\begin{cases}a+b=3\\a-b=0\end{cases}$ → $a=\frac{3}{2}, b=\frac{3}{2}$

   第一列：$\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}\end{pmatrix}$

3. 【计算 $T(\varepsilon_2)$】

   $T(\varepsilon_2)=T(1,-1)=(2\cdot1-1, 1-(-1))=(1,2)$

4. 【把 $T(\varepsilon_2)$ 表示成基的线性组合】

   设 $(1,2)=c\varepsilon_1+d\varepsilon_2=c(1,1)+d(1,-1)$

   $(1,2)=(c+d, c-d)$

   方程组：$\begin{cases}c+d=1\\c-d=2\end{cases}$ → $c=\frac{3}{2}, d=-\frac{1}{2}$

   第二列：$\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

5. 【写出矩阵】

   $$A=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$$

关键点：非标准基下，必须把 $T(\varepsilon_j)$ "翻译"成基向量的线性组合，系数才是坐标。

例题 2.3：多项式空间的矩阵表示

题目：在 $\mathbb{R}[x]_2$ 中（次数 $\leq2$ 的多项式），基为 $\{1, x, x^2\}$，求导算子 $D(f)=f'$ 的矩阵表示。

解答：

1. 【对每个基向量求导】
   • $D(1)=0=0\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2$ → 第一列 $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
   • $D(x)=1=1\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2$ → 第二列 $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$
   • $D(x^2)=2x=0\cdot1+2\cdot x+0\cdot x^2$ → 第三列 $\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$
2. 【矩阵】

   $$A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}$$

3. 【验证】

   对 $f=a+bx+cx^2$（坐标 $(a,b,c)^T$）：

   $$A\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b\\2c\\0\end{pmatrix}$$

   对应多项式 $b+2cx$，正是 $f'$ ✓

规律：求导算子的矩阵是上三角矩阵，对角线全是0（常数求导为0）。

例题 2.4：基变换（相似变换，难度较高）

题目：$T$ 在基 $\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ 下的矩阵是 $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$。求 $T$ 在基 $\{\eta_1,\eta_2\}$ 下的矩阵，其中 $\eta_1=\varepsilon_1, \eta_2=\varepsilon_1+\varepsilon_2$。

方法1：从定义出发（稳）

1. 先求 $T(\eta_1)$ 和 $T(\eta_2)$ 在旧基下的表现
2. $T(\eta_1)=T(\varepsilon_1)=2\varepsilon_1+0\varepsilon_2$（第一列）
3. $T(\eta_2)=T(\varepsilon_1+\varepsilon_2)=T(\varepsilon_1)+T(\varepsilon_2)=(2\varepsilon_1+0\varepsilon_2)+(1\varepsilon_1+3\varepsilon_2)=3\varepsilon_1+3\varepsilon_2$
4. 再把它们表示成新基 $\{\eta_1,\eta_2\}$ 的组合（需要解方程）
5. ...（计算较复杂）

方法2：用相似变换公式（快，但需要记公式）

如果过渡矩阵 $P$ 满足 $(\varepsilon_1,\varepsilon_2)=(\eta_1,\eta_2)P$，则新矩阵 $B=P^{-1}AP$

考试建议：这种题计算量大，如果时间不够可以跳过。

例题 3.1：2阶矩阵求特征值特征向量（标准题）

题目：$A=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}$，求所有特征值和对应的特征向量。

完整解答：

1. 【写特征方程】

   $$|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&0\\-1&\lambda-3\end{vmatrix}=0$$

2. 【计算行列式】

   $$(\lambda-2)(\lambda-3)-0\cdot(-1)=(\lambda-2)(\lambda-3)=0$$

3. 【解特征方程】

   特征值为 $\lambda_1=2$，$\lambda_2=3$

4. 【求 $\lambda_1=2$ 的特征向量】

   解 $(A-2I)X=0$：

   $$\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

   方程：$x+y=0$ → $y=-x$

   令 $x=1$，得特征向量 $\xi_1=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$（或任意 $\begin{pmatrix}t\\-t\end{pmatrix}, t\ne0$）

5. 【求 $\lambda_2=3$ 的特征向量】

   解 $(A-3I)X=0$：

   $$\begin{pmatrix}-1&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

   方程：$-x=0$ 和 $x=0$ → $x=0$，$y$ 任意

   令 $y=1$，得特征向量 $\xi_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

6. 【答案汇总】

   特征值：$\lambda_1=2, \lambda_2=3$

   对应特征向量：$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, \xi_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

7. 【验证（推荐）】

   $A\xi_1=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ ✓

例题 3.2：3阶矩阵（计算量稍大）

题目：$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}$，求特征值和特征向量。

解答：

1. 【特征方程】

   $$|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&0&0\\0&\lambda-2&-1\\0&0&\lambda-2\end{vmatrix}$$

   （上三角矩阵，行列式=对角线乘积）

   $$=(\lambda-1)(\lambda-2)^2=0$$

2. 【特征值】

   $\lambda_1=1$（单根），$\lambda_2=2$（二重根）

3. 【$\lambda_1=1$ 的特征向量】

   $(A-I)X=0$ → $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}X=0$

   得 $y+z=0, z=0$ → $y=z=0$，$x$ 任意

   $\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

4. 【$\lambda_2=2$ 的特征向量（重根要注意）】

   $(A-2I)X=0$ → $\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}X=0$

   得 $x=0, z=0$，$y$ 任意

   特征空间维数=1（只有一个方向）

   $\xi_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

5. 【重要观察】

   $\lambda=2$ 是二重根，但特征空间只有1维！

   这意味着不能对角化（后面会详细讲）

例题 4.1：可对角化的情况（标准题）

题目：$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$，判断能否对角化，若能，求 $P$ 和 $D$。

完整解答：

1. 【求特征值】

   $|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\0&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-3)=0$

   特征值：$\lambda_1=1, \lambda_2=3$（两个不同特征值）

2. 【判断可对角化】

   2阶矩阵有2个不同特征值，一定可对角化 ✓

3. 【求特征向量】

   $\lambda_1=1$：

   $(A-I)X=\begin{pmatrix}0&2\\0&2\end{pmatrix}X=0$ → $y=0$，$x$ 任意

   取 $\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

   $\lambda_2=3$：

   $(A-3I)X=\begin{pmatrix}-2&2\\0&0\end{pmatrix}X=0$ → $x=y$

   取 $\xi_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

4. 【构造 $P$ 和 $D$】

   $$P=(\xi_1, \xi_2)=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$

   $$D=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}$$

   （$P$ 的列是特征向量，$D$ 的对角元是对应的特征值）

5. 【验证（推荐）】

   $AP=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\0&3\end{pmatrix}$

   $PD=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\0&3\end{pmatrix}$ ✓

   （$AP=PD$ 说明 $P^{-1}AP=D$）

关键点：$P$ 的第 $j$ 列是 $D$ 的第 $j$ 个对角元的特征向量，顺序要对应！

例题 4.2：不可对角化的典型例子（必须会判断）

题目：$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 是否可对角化？

解答：

1. 【求特征值】

   $|\lambda I-A|=(\lambda-1)^2=0$

   只有一个特征值 $\lambda=1$，代数重数=2

2. 【求特征空间】

   $(A-I)X=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}X=0$

   方程：$y=0$，$x$ 任意

   特征空间：$\text{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\}$，几何重数=1

3. 【判断】

   几何重数(1) < 代数重数(2)，不可对角化 ✗

4. 【原因分析】

   2阶矩阵需要2个线性无关的特征向量才能对角化，但现在只有1个方向。

例题 1：判断正交

$\alpha=(1,2,-1)$，$\beta=(2,-1,0)$，判断是否正交。

1. 算内积：$(\alpha,\beta)=1\cdot2+2\cdot(-1)+(-1)\cdot0$。
2. 结果为 $2-2+0=0$。
3. 所以 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交。

例题 2：求正交补

在 $\mathbb R^3$ 中，$W=\operatorname{span}\{(1,1,0)\}$。求 $W^\perp$。

1. 设 $x=(a,b,c)$ 属于 $W^\perp$。
2. 它必须与 $(1,1,0)$ 正交，所以 $a+b=0$。
3. 令 $b=s,c=t$，则 $a=-s$。
4. $x=s(-1,1,0)+t(0,0,1)$。

所以 $W^\perp=\operatorname{span}\{(-1,1,0),(0,0,1)\}$。

例题 3：标准正交化

把 $\alpha_1=(1,0,1)$，$\alpha_2=(1,1,0)$ 正交化。

1. $\beta_1=\alpha_1=(1,0,1)$。
2. $(\alpha_2,\beta_1)=1$，$(\beta_1,\beta_1)=2$。
3. $\beta_2=\alpha_2-\frac12\beta_1=(1,1,0)-(\frac12,0,\frac12)=(\frac12,1,-\frac12)$。
4. 为了好看，可乘 2，取 $\beta_2'=(1,2,-1)$。它仍与 $\beta_1$ 正交。
5. 单位化：$e_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,0,1)$，$e_2=\frac{1}{\sqrt6}(1,2,-1)$。

例题 4：判断正交矩阵

$Q=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ 是否正交？

1. 第一列 $q_1=(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2})^T$，长度为 1。
2. 第二列 $q_2=(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2})^T$，长度为 1。
3. 内积 $(q_1,q_2)=\frac12-\frac12=0$。
4. 列向量标准正交，所以 $Q$ 是正交矩阵。